Mesure en radians d'un angle orienté

Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\text{(O,I,J)}\) . 

Définition

Soit \(\text M\) un point du cercle trigonométrique.
L'angle  \(\widehat{\text{IOM}}\) muni du sens trigonométrique s'appelle angle orienté. 

Propriété

Soit \((d)\) la droite tangente au cercle trigonométrique au point \(\text{(1;0)}\) et \(x\) un nombre réel. Par enroulement de la droite   \((d)\) autour du cercle trigonométrique, à tout point de \((d)\) de coordonnées \((1;x)\) , on associe un unique point  `\text{M}` du cercle trigonométrique.

• On dit que  `\text{M}` est l'image du réel \(x\) par l'enroulement de la droite \((d)\) sur le cercle trigonométrique.
  
• Le réel  `x` se nomme mesure de l'angle  \(\widehat{\text{IOM}}\) en radian s . 
  
• Le radian est une unité de mesure d'angles orientés.
  

Propriété

Lorsque `0\leq x\leq 2\pi` , la mesure d'un angle orienté en radians correspond à la longueur de l'arc de cercle d'extrémités \(\text{I}\) et \(\text{M}\) , noté \(\overset{\frown}{\text{IM}}\) .

Propriété  

Deux points de la droite numérique d'ordonnées respectives `x` et `y` correspondent, par enroulement, au même point du cercle trigonométrique lorsque `y-x` est un multiple de `2\pi` , soit lorsqu'il existe un entier relatif `k` tel que `y-x=2k\pi` .

Remarque

La propriété précédente implique que, étant donné l'angle orienté \(\widehat{\text{IOM}}\) , plusieurs mesures en radians peuvent lui être associées.

Le fichier de géométrie dynamique permet d'observer l'enroulement de la droite `(d)` sur le cercle trigonométrique.